Дэвис, Мартин (математик)

В Руниверсалис есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Дэвис; Дэвис, Мартин.

Мартин Дэвис
Martin Davis
Дата рождения	8 марта 1928(1928-03-08)
Место рождения	Нью-Йорк, США
Дата смерти	1 января 2023(2023-01-01) (94 года)
Место смерти	Беркли, США
Страна	США
Научная сфера	теория чисел и математика
Альма-матер	Принстонский университет (1950)
Научный руководитель	Алонзо Чёрч
Награды и премии	Herbrand Award (2005), член Американской академии искусств и наук, премия Стила (1975), Премия Халмоша — Форда, стипендия Гуггенхайма (1983), действительный член Американского математического общества (2013)
Сайт	cs.nyu.edu/cs/faculty/da…

Мартин Дэвид Дэвис (англ. Martin Davis, 8 марта 1928 — 1 января 2023) — американский математик, известный своей работой, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

Биография

Родители Дэвиса иммигрировали в США из города Лодзь (Польша). Встретившись уже в Нью-Йорке, они поженились. Дэвис родился и вырос в городе Бронкс. Родители с детства поощряли Мартина получить высшее образование.

В 1950 году под руководством Алонзо Черча Мартин получил степень доктора в Принстонском университете, который является одним из старейших и самых престижных университетов США.

Взнос

Дэвис — один из изобретателей алгоритма Дэвиса-Путнама и алгоритма DPLL. Также он известен благодаря своей модели машины Поста.

Десятая проблема Гильберта

В 30-х годах XX века формализуется понятие алгоритм, а также появляются первые примеры алгоритмически неразрешимых теорий в математической логике. Важным моментом стало доказательство Андреем Марковым и Эмилем Постом (независимо друг от друга) неразрешимость задачи Туе в 1947 году. Это было первое доказательство неразрешимости алгебраической задачи. Трудности, с которыми столкнулись исследователи диофантовых уравнений, вызвали предположение, что необходимого Гильбертом алгоритма не существует. Немного ранее, в 1944 году, Эмиль Пост в одной из своих работ уже писал, что десятая проблема «молит о доказательстве неразрешимости» (англ. «Begs for an unsolvability proof»).

Гипотеза Дэвиса

Слова Поста вдохновили студента Мартина Дэвиса на поиск доказательств неразрешимости десятой проблемы. Дэвис перешел от её формулировки в целых числах к более естественной для теории алгоритмов формулировки в натуральных числах. Это две разные задачи, однако каждая из них сводится к другой. В 1953 году он опубликовал работу, в которой наметил путь решения десятой проблемы в натуральных числах.

Дэвис наравне с классическими диофантовыми уравнениями рассмотрел их параметрическую версию:

[math]\displaystyle{ P (a_1, \ldots, a_n, x_1, \ldots, x_m) = 0, }[/math]

где многочлен [math]\displaystyle{ P }[/math] с целыми коэффициентами можно разделить на две части — параметры [math]\displaystyle{ a_1, \ldots, a_n }[/math] и переменные [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_m. }[/math] При одном наборе значений параметров уравнения может иметь решение, при другом решений может его не иметь. Дэвис выделил множество [math]\displaystyle{ M }[/math], которое содержит все наборы значений параметров ([math]\displaystyle{ n }[/math]), при которых уравнение имеет решение:

[math]\displaystyle{ \{ a_1, \ldots, a_n \} \in M \Longleftrightarrow \exists x_1, \ldots, x_m \colon P(a_1, \ldots, a_n, x_1, \ldots, x_m) = 0. }[/math]

Такую запись он назвал диофантовым представлением множества, а само множество также назвал диофантовым. Для доказательства неразрешимости десятой проблемы нужно было лишь показать диофантовость любого перечислимое множества, то есть показать возможность построения уравнения, которое имело бы натуральные корни [math]\displaystyle{ x_1, \ldots, x_m }[/math] при [math]\displaystyle{ \{a_1, \ldots, a_n\} }[/math], принадлежащих к этому множеству: поскольку среди перечислимых множеств содержатся неразрешимые, то, взяв неразрешимое множество [math]\displaystyle{ M }[/math] за основу, невозможно было бы получить общий метод, который бы [math]\displaystyle{ n }[/math] определял, имеются ли в этом наборе уравнения натуральные корни. Все это привело Дэвиса к такой гипотезе:

Понятие диофантового и перечислимого множества совпадают. Это значит, что множество диофантово тогда и только тогда, когда оно перечислимое.

Дэвис также сделал первый шаг — доказал, что любое перечислимое множество [math]\displaystyle{ M }[/math] можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ \{ a_1, \ldots, a_n \} \in M \Longleftrightarrow \exists z \forall y\lt z \exists x_1, \ldots, x_m \colon P(a_1, \ldots, a_n, x_1, \ldots, x_m, y, z) = 0. }[/math]

Это получило название «нормальная форма Дэвиса». Доказать свою гипотезу, избавившись от квантора всеобщности, ему на тот момент не удалось.

Награды и почетные звания

В 1975 году, Дэвис был награжден премией Стила, премией «Chauvenet Prize» и премией Лестера Форда за работу, которая посвящена десятой проблеме Гильберта.

В 1982 году Мартин стал членом и Американской академии искусств и наук.

В 2012 был избран стипендиатом Американского математического общества.

Отдельные издания

Книги

• Мартин, Дэвис. Прикладной нестандартный анализ (неопр.). — Нью-Йорк: Wiley, 1977. — ISBN 9780471198970.
• Мартин, Дэвис; Джессика, Элейн; Рон, Сигал. Вычислимости, сложность и речи: Основы теоретической информатики (рус.). — 2-й том. — Бостон: Academic Press, Harcourt, Brace, 1994. — ISBN 9780122063824.
• Мартин, Дэвис. Двигатели логики: математика и происхождение компьютера (рус.). — Нью-Йорк: Norton, 2000. — ISBN 9780393322293.

Обзор «двигателей логики»: Уоллес, Ричард, Математики которые забывают ошибки истории: обзор двигателей логики("Мартин Дэвис"), ALICE A. I. Foundation, <http://www.alicebot.org/articles/wallace/mathematicia..>  (недоступная ссылка)

Статьи

• Мартин Дэвис (1995), «Является ли математическое понимание алгоритмическим», «Behavioral and Brain Sciences», 13(4), 659-60.

См. также

• Проблема остановки
• Нестандартный анализ

Ссылки

• Сайт Мартина Дэвиса Архивная копия от 28 сентября 2014 на Wayback Machine